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원기둥 부피 공식 원의 넓이를 구하는 공식을 알고 있다면, 원기둥의 부피는 쉽게 구할 수 있습니다. 원기둥은 2차원에 해당하는 원이 세로로 높이 쌓여있다고 생각해 보면 됩니다. 즉, 동그란 피자가 높이 쌓여 있는 것을 상상해 보죠. 부피는 3차원의 공간이므로, 만약 지름이 30cm 되는 피자를 열 개 쌓아놓았다면 10개의 피자가 차지하는 공간은 얼마나 될까요? 피자 한 개의 두께는 1cm라고 생각해 봅시다. 이것을 그림으로 그려보면 대략 이런 모습이 될 것입니다. 그러면, 높이는 10 x 1cm = 10cm가 될 것이고, 피자 한 판이 차지하는 것의 10배가 전체 공간이 됩니다. 사실 굳이 피자 10판이 아니라 1판만 놓고 보더라도, 동일합니다. 피자 두께를 1cm라고 가정했지만, 1cm는 mm 단위의 ..
원의 둘레 공식, 원의 넓이 공식 이해하기 우리는 원의 둘레 공식과 원의 넓이 공식에 대해 일단 외우기 부터 했습니다. 그러나, 단순하게 외우기만 해서는 오래 기억에 남지 않겠죠. 그 특징을 이해해 보고 넘어가야 합니다. 원의 특성 먼저 원에 대해 생각해 보죠. 일상에서 많이 접하는 원, 그런데 원의 정의에 대해서 생각해 본적이 있나요? 원은 어떤 한 점을 기준으로 선을 그을 때, 한 점과 같은 거리에 있는 점들의 집합입니다. 콤파스를 써봤다면 이해하기 쉬울텐데, 몇 cm 짜리 길이를 정한 후, 돌린다면 원이 나오죠. 같은 길이만큼 떨어져 있는 점들의 집합이 원입니다. 원의 둘레 공식 중심의 한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들을 이어 선을 이으면 원이 된다고 했죠? 그러면, 선을 긋는 시작점이 있을 것..
두 분수에 각각 곱했을 때 자연수가 되는 가장 작은 분수 구하기 두 분수에 어떤 같은 분수를 곱했을 때, 곱한 값이 자연수가 되게 하는 분수가 있다고 합니다. 그 분수들은 여러 개가 될텐데, 그 분수들 중 가장 작은 분수를 구하는 문제입니다. 이 문제는 공식을 직접적으로 외우기 보다, 왜 이렇게 되는지 원리를 먼저 이해하는 것이 중요하다고 생각합니다. 공식은 시간이 지나서 잊혀지기 마련이고, 헷갈리면 정반대의 결과를 도출할 수 있기 때문이죠. 이번 기회를 빌어, 원리도 이해해 보고, 스스로 공식을 만들 수 있도록 해봅시다. $ 7 \over 8 $ 와 $ 21 \over 32 $ 두 개의 분수가 있다고 가정합시다. 분모를 기준으로 자연수 만들어보기 분모부터 생각해 보는 것이 쉬울 것입니다. 두 분수의 분..
근(根) = 뿌리 = root = 기원을 뜻합니다. 즉, 뿌리 및 기원과 관련이 있는 공식이라는 것이겠죠. 1차 방정식은 $ ax + b = c $ 의 형태로부터, x만 남겨놓고 나머지는 반대항으로 옮기는 절차만 따르면 됩니다. 2차 방정식에서는 완전제곱식 형태로 푸는 방식을 많이 사용합니다. 간단한 예제로 생각해 보기 간단한 예제부터 시작해 봅시다. $ x^2 = 4 $ 라면, 어떤 수를 제곱했을 때, 4가 되므로, $ x^2 = (\pm2)^2 $ $ x = \sqrt{(\pm2)^2} $ $ x = \pm2 $ 위와 같이, 수식이 간단한 경우라면 쉽게 상상할 수 있겠죠? 그러면, 위의 식을 응용해서 $ x $ 가 아니라, $ x-1 $인 경우로 변형해 보겠습니다. 똑같이 어떤 수의 제곱이 4가 되는..
여러 삼각형의 닮은꼴을 사용하여 피타고라스정리를 유도하는 방법에 대해 살펴보겠습니다. 우선 다음과 같은 직각 삼각형으로부터 시작해 보죠. 직각의 꼭지점으로부터 수선의 발을 내려봅시다. 그러면, 이 안에서 서로 닮은 삼각형들을 찾을 수 있습니다. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 점을 활용하여, 다음과 같이 같은 각도들을 표시할 수 있습니다. 삼각형의 변의 길이를 아래와 같이 표시해 봅니다. 이 삼각형들을 분리하고, 회전시켜 재배치 하면 아래 그림과 같이 볼 수 있습니다. 이제 비례식을 세워봅시다. 만약, 1:2 = 2:4 라는 비례식이 성립한다면 $ 1 \times 4 = 2 \times 2 $ 와 같이 식을 수립할 수 있을 것입니다. $ a:b = d:c2 = c1:d $ $ a:c1+c2 = d:b ..
피타고라스 정리 - 유클리드 증명 중학 수학에 소개되는 피타고라스정리를 유클리드 증명으로 도출해 봅시다. 유클리드 증명은 아래와 같이 세 개의 정사각형을 기대어 놓은 형태로부터 출발합니다. 한 변의 길이가 각각 a, b, c인 세 개의 정사각형이 표시되어 있습니다. 위의 두의 정사각형의 넓이의 합은 아래 큰 정사각형의 넓이와 같다는 것을 통해 증명하는 방법입니다. 원래는 정사각형들만 있는 그림에, 위와 같이 대각선들을 이어서 내부에 몇 개의 삼각형을 그립니다. $ \triangle BCD $ 와 $ \triangle BCG $를 볼까요? 두 삼각형은 밑변과 높이가 각각 a로 동일하기 때문에 넓이가 같습니다. 이번에는 $ \triangle BCG $ 와 $ \triangle CED $를 비교해 볼까요? $..
피타고라스 정리 - 가필드식 증명 피타고라스 정리는 중학 수학에 소개되는데, 이번에는 미국 20대 대통령 가필드식 피타고라스 증명 방법도 소개합니다. 한 개의 직각 삼각형(ABC)을 기준으로, 같은 삼각형을 하나 더(CDE) 회전하여 그림과 같이 맞대 봅니다. 그리고, 점 A와 E를 이어주면 사다리꼴이 됩니다. 같은 직각 삼각형을 두 개를 썼기 때문에, 매칭되는 변의 길이와 각도가 동일한 부분이 생기겠죠? 즉, 각 BAC와 각 DCE는 동일하고, 각 ACB와 각 CED가 동일합니다. 사다리꼴이 만들어 내는, 새로운 삼각형 ACE의 특징에 대해 살펴 봅시다. 변 AC = 변 CE: 같은 삼각형 두 개로 만들어 냈으므로, 두 변의 길이는 같습니다. 각 ACE = 90도 삼각형의 내각의 합은 180도임 각 A..
피타고라스 정리 - 바스카라식 증명 피타고라스 정리 증명 방법만으로도 약 400여가지 이상이 있다고 하는데, 오늘은 인도수학자 바스카라식 증명 방법을 정리합니다. 지난 번 피타고라스식 증명과 마찬가지로 도형을 나누고, 전체 넓이 = 부분 넓이의 합 방식으로 증명하는 방식입니다. 중학 수학 과정에서 모든 방법을 다 알 필요는 없겠지만, 응용 문제를 준비하는 관점에서도 봐두면 좋을 것 같습니다. 정사각형 ABCD를 기준으로, 대각선이 c가 되는 직각 삼각형을 그려봅니다. 그러면 삼각형 ABE와 같은 모양이 됩니다. 그리고, 각 모서리를 기준으로 돌려가면서 배치하면, 가운데 정사각형 EFGH를 남겨놓는 모양이 됩니다. 이제 넓이를 비교해 봅시다. S1 = 전체 정사각형(ABCD)의 넓이 = $ c * c = ..
피타고라스 정리 - 피타고라스식 증명 중학 수학에 등장하는 피타고라스의 정리라고 하면, $ a^2 + b^2 = c^2 $ 라고 막연히 외우기만 했었는데, 어느 덧 왜(?)를 설명해줘야 할 때가 다가옵니다. 예전에는 이렇게 배우지는 않았던 것 같습니다. 피타고라스의 정리는 증명하는 방법이 여러가지가 있는데, 그 중 피타고라스식 증명부터 정리하고자 합니다. 넓이를 이용해 구하는 방식 중 하나인데요. 전체 넓이 = 부분 넓이의 합이라는데 착안한 방식으로 보면 되겠습니다. 두 개의 정사각형을 사용해 그림을 그려봅시다. 하나(정사각형 ABCD)는 바깥에 있고, 다른 하나(정사각형 EFGH)는 조금 작게 그립니다. 실제 종이를 사용해서 해보면 더 이해가 쉬울 수도 있겠네요. 안쪽 정사각형을 위의 그림과 같이 약간..
초보자도 이해하기 쉬운 대우명제 시간이 한참 지나니, 논리학의 어떤 명제와 그 대우명제가 같은 진리값을 지닌다는 사실만 기억에 남고, 왜 그러한지는 설명하기 어렵더군요. 그래서, 이번 기회에 정리하고자 합니다. 논리 명제(proposition)의 일반적인 표기 $ p $ : p $ \neg q $: q가 아님 (negation) $ p \rightarrow q $ : p이면 q이다. $ p \rightarrow \neg q $ : p이면 q가 아니다. 명제의 논리 유형 원래의 명제가 $ p \rightarrow q $ (p이면 q이다) 라고 주어졌을 때, 위와 같이 표기하는 조건식의 관계의 변형은 다음과 같은 유형으로 나뉩니다. 역(converse) 가정과 결과가 뒤 바뀌는 것을 뜻합니다. $ q \ri..
최대공약수와 최소공배수 활용 앞서 최대공약수 구하는 법과 최소공배수 구하는 법에 대해 다뤄봤습니다. 이름도 비슷한 두 개의 개념을 모아서 비교해 보면, 좀 더 오래 기억하거나 이해하는데 도움이 되지 않을까요? 이제는 최대공약수를 구하시오, 최소공배수를 구하시오. 라고 문제가 나오지 않습니다. 초등학교 5학년 수학이라 하더라도, 스토리를 기반으로 이 문제가 최대공약수 문제인지 최소공배수 문제인지 스스로 판단하고 풀어야 합니다. 따라서, 두 문제 유형이 어떻게 차이가 있는지 구별하는 훈련이 필요합니다. 예제로 살펴보면 12와 30 두 숫자로 살펴보겠습니다. $ 12 = 2^2 \times 3 $ $ 3= 2 \times 3 \times 5 $ 이므로, 최대공약수는 $ 2 \times 3 = 6 $, 최소공배..
지난 번에는 최대공약수에 대해 알아보았습니다. 이번에는 최소공배수에 대해 생각해 봅시다. 최소공배수란? 최소공배수는 한자로 最小公倍數라고 씁니다. 最小: 가장 작은 公倍數: 공통의 배수 倍數: 곱한 수 즉, 공배수(곱한 수들 중 같은 수, 배수중 공통이 되는 수) 중 가장 작은 수라는 뜻입니다. 한편, 최소공배수를 영어로는 Least Common Multiple이라고 부릅니다. (줄여서, LCM) Multiple = 곱한 수 = 배수 Common = 공통의 Least = 최소의 마찬가지로, 공통의 배수 중 가장 작은 값이라는 의미가 되겠습니다. 최대공약수, 최소공약수, 최소공배수, 최대공배수 우리가 아는 용어는 최대공약수와 최소공배수입니다. 그런데, 개념적으로 보면 최대/최소라는 말을 붙여도 되긴 하지만..
최대공약수 구하는 법 - 4가지 이번에는 최대공약수 구하는법에 대해서 정리해 보겠습니다. 먼저 최대공약수란 무엇인지부터 살펴봐야겠죠? 요새는 초등학교 5학년 수학 과정에서 다루고 있습니다. 무조건 외우게 하는 것보다, 원리와 배경을 통해 이해하도록 하는 것이 중요합니다. 최대공약수란? 최대공약수는 한자로 最大公約數라고 씁니다. 最大: 가장 크다 公約數: 공평하게 나눈 수 (똑같이 나눈 수) 즉, 공약수 중 가장 큰 수라는 뜻입니다. 우리 말로 풀어써도 어렵습니다. 한편, 최대공약수를 영어로는 Great Common Divisior 라고 부릅니다. Divisior = 나누는 수 = 약수 Common = 공통의 Great = 가장 큰 한자로 표기한 최대 공약수와 거의 비슷한 뜻이라 볼 수 있습니다. 오히려,..
서로소, 소수에 대해 예전에는 아무 거리낌 없이 받아들이고 그러려니 했던 말 중에 서로소라고 있습니다. 이것을 설명하려니 왜 탁 막힐까요? 아마, 당시에 나의 언어로 소화하는 과정을 잘 거치지 않았던 모양입니다. 그리고, 우리는 예전에 그냥 외웠죠. '2, 3, 5, 7, 11 같은 것을 소수라고 해'라고 외웠는데. 왜 이들을 소수라고 부르고, 소수란 어떤 뜻을 가질까요? 소수의 뜻 우리나라에서는 소수를 한자로 씁니다. 素數라고 하네요. 素: 흴 소, 본디 소 라는 뜻으로 보아, 소수에서의 의미는 '본디'에 해당되겠습니다. 영어로는 소수를 prime number라고 부른다고 합니다. prime: 최고의, 최초의, 최상의 대략적인 의미는 1등의, 제일 앞에 서는, 기본이 되는 등의 뜻이겠죠. 결국, 소수에..
그냥 무조건 외웠던 곱셈공식. 그림으로 접근하면 다른 관점에서 생각해 볼 수 있습니다. 그림으로 살펴보는 (a + b) x (a + b) $ (a+b)^2 = (a+b)\times(a+b) = a^2 + 2ab + b^2 $ 이것을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같습니다. 즉, a와 b의 합을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 구하는 것과 같이 됩니다. 각 구역을 색깔을 입혀보면, 아래와 같이 됩니다. 이 정사각형의 넓이는, 윗쪽의 작은 정사각형의 넓이와 아랫쪽의 큰 정사각형의 넓이, 그리고 두 개의 노란 직사각형의 넓이의 합으로 구성됩니다. 두 개의 노란 직사각형은 서로 넓이가 같습니다. 작은 정사각형 넓이 $ s1 = a^2 $ 큰 정사각형 넓이 $ s2 = b^2 $ 직사각형 넓이 $ s3 = a ..
