피타고라스 정리 - 유클리드 증명
- 삶 / 눈높이공부
- 2021. 6. 30.
피타고라스 정리 - 유클리드 증명
중학 수학에 소개되는 피타고라스정리를 유클리드 증명으로 도출해 봅시다.
유클리드 증명은 아래와 같이 세 개의 정사각형을 기대어 놓은 형태로부터 출발합니다.
한 변의 길이가 각각 a, b, c인 세 개의 정사각형이 표시되어 있습니다.
위의 두의 정사각형의 넓이의 합은 아래 큰 정사각형의 넓이와 같다는 것을 통해 증명하는 방법입니다.
원래는 정사각형들만 있는 그림에, 위와 같이 대각선들을 이어서 내부에 몇 개의 삼각형을 그립니다.
△BCD 와 △BCG를 볼까요?
두 삼각형은 밑변과 높이가 각각 a로 동일하기 때문에 넓이가 같습니다.
이번에는 △BCG 와 △CED를 비교해 볼까요?
¯BC=¯CD 이고, ¯CG=¯CE 입니다.
∠BCD=∠ECG=90∘ 이고, ∠DCG는 공통이므로, 두 삼각형은 같은 삼각형입니다.
즉, 회전시킨 삼각형이라 볼 수 있습니다.
위와 같은 원리로 △CED와 △CEJ 는 넓이가 같은 삼각형입니다.
여기까지의 내용으로, △BCD의 넓이는 △CEJ의 넓이와 같다는 것을 확인했습니다.
사각형을 반으로 나눠 검증을 했으니, 나머지 반쪽도 마찬가지일 것입니다.
옮겨오지 않은 나머지 삼각형은 앞서 구한 삼각형 넓이의 각각 두 배를 한 것과 같을 것입니다.
즉, ◻ABCD 의 넓이 = ◻CEKJ의 넓이입니다.
같은 방법으로 오른쪽 사각형에 대해서도 검증을 해볼 수 있겠죠?
△GHD 와 △FGJ의 넓이는 같고, ◻DGHI 와 ◻FGJK의 넓이 또한 같게 됩니다.
지금까지 한 검증 결과를 모으면, 다음과 같이 될 것입니다.
따라서, 위의 두 정사각형의 넓이의 합은 아래 큰 정사각형의 넓이의 합이 된다는 것을 확인할 수 있습니다.
◻ABCD+◻DGHI=◻CEFG
따라서, a2+b2=c2
위와 같이 중2 수학 피타고라스의 정리를 유클리드 방식으로 증명하였습니다.
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