Processing math: 100%

피타고라스 정리 - 유클리드 증명

피타고라스 정리 - 유클리드 증명

중학 수학에 소개되는 피타고라스정리를 유클리드 증명으로 도출해 봅시다.

유클리드 증명은 아래와 같이 세 개의 정사각형을 기대어 놓은 형태로부터 출발합니다.

중학 수학 피타고라스 정리

한 변의 길이가 각각 a, b, c인 세 개의 정사각형이 표시되어 있습니다.

위의 두의 정사각형의 넓이의 합은 아래 큰 정사각형의 넓이와 같다는 것을 통해 증명하는 방법입니다.

중학 수학 피타고라스 정리

원래는 정사각형들만 있는 그림에, 위와 같이 대각선들을 이어서 내부에 몇 개의 삼각형을 그립니다.
BCDBCG를 볼까요?

중학 수학 피타고라스 정리


두 삼각형은 밑변과 높이가 각각 a로 동일하기 때문에 넓이가 같습니다.

이번에는 BCGCED를 비교해 볼까요?

중학 수학 피타고라스 정리

¯BC=¯CD 이고, ¯CG=¯CE 입니다.

BCD=ECG=90 이고, DCG는 공통이므로, 두 삼각형은 같은 삼각형입니다.

즉, 회전시킨 삼각형이라 볼 수 있습니다.

중학 수학 피타고라스 정리

위와 같은 원리로 CEDCEJ 는 넓이가 같은 삼각형입니다.

여기까지의 내용으로, BCD의 넓이는 CEJ의 넓이와 같다는 것을 확인했습니다.

반응형

사각형을 반으로 나눠 검증을 했으니, 나머지 반쪽도 마찬가지일 것입니다.

옮겨오지 않은 나머지 삼각형은 앞서 구한 삼각형 넓이의 각각 두 배를 한 것과 같을 것입니다.

즉, ABCD 의 넓이 = CEKJ의 넓이입니다.

같은 방법으로 오른쪽 사각형에 대해서도 검증을 해볼 수 있겠죠?

중학 수학 피타고라스 정리

GHDFGJ의 넓이는 같고, DGHIFGJK의 넓이 또한 같게 됩니다.

지금까지 한 검증 결과를 모으면, 다음과 같이 될 것입니다.

중학 수학 피타고라스 정리

따라서, 위의 두 정사각형의 넓이의 합은 아래 큰 정사각형의 넓이의 합이 된다는 것을 확인할 수 있습니다.

ABCD+DGHI=CEFG
따라서, a2+b2=c2

위와 같이 중2 수학 피타고라스의 정리를 유클리드 방식으로 증명하였습니다.

Designed by JB FACTORY