피타고라스 정리 - 가필드식 증명

피타고라스 정리는 중학 수학에 소개되는데, 이번에는 미국 20대 대통령 가필드식 피타고라스 증명 방법도 소개합니다.

중학 수학 피타고라스 정리

한 개의 직각 삼각형(ABC)을 기준으로, 같은 삼각형을 하나 더(CDE) 회전하여 그림과 같이 맞대 봅니다. 그리고, 점 A와 E를 이어주면 사다리꼴이 됩니다. 같은 직각 삼각형을 두 개를 썼기 때문에, 매칭되는 변의 길이와 각도가 동일한 부분이 생기겠죠? 즉, 각 BAC와 각 DCE는 동일하고, 각 ACB와 각 CED가 동일합니다. 사다리꼴이 만들어 내는, 새로운 삼각형 ACE의 특징에 대해 살펴 봅시다.

  • 변 AC = 변 CE: 같은 삼각형 두 개로 만들어 냈으므로, 두 변의 길이는 같습니다.
  • 각 ACE = 90도
    • 삼각형의 내각의 합은 180도임
    • 각 ABC = 90도
    • 삼각형 ABC의 나머지 두 각의 합 = o로 표시한 부분 + x로 표시한 부분 = 90도
    • 선분 BCD = 180도인데, o + x = 90도임
    • 따라서, 각 ACE = 90도

앞서 다룬 방법들과 마찬가지로, 전체 도형의 넓이는 각 부분 도형들의 넓이의 합과 같습니다. 즉, 사다리꼴의 넓이 = 세 삼각형의 넓이의 합이 됩니다. 사다리꼴의 넓이를 S1, 세 삼각형의 넓이의 합을 S2라고 하겠습니다.

  • S1 = $ (a+b) \times (a+b) \times \frac 1 2 $
  • S2 = $ 2 \times \frac 1 2 \times a \times b + \frac 1 2 \times c \times c $

S1과 S2는 같은 값이므로,

  • S1 = S2
  • $ (a+b)^2 \frac 1 2 = 2 \times \frac 1 2 \times a \times b + \frac 1 2 \times c \times c $
  • $ (a+b)^2 = 2ab + c^2 $
  • $ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 $
  • $ a^2 + b^2 = c^2 $

와 같이 피타고라스 정리 증명을 할 수 있습니다.

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