두 분수에 곱해서 자연수를 만들 수 있는 가장 작은 분수 구하기

 

두 분수에 각각 곱했을 때 자연수가 되는 가장 작은 분수 구하기

두 분수에 어떤 같은 분수를 곱했을 때, 곱한 값이 자연수가 되게 하는 분수가 있다고 합니다.

그 분수들은 여러 개가 될텐데, 그 분수들 중 가장 작은 분수를 구하는 문제입니다.

이 문제는 공식을 직접적으로 외우기 보다, 왜 이렇게 되는지 원리를 먼저 이해하는 것이 중요하다고 생각합니다.

공식은 시간이 지나서 잊혀지기 마련이고, 헷갈리면 정반대의 결과를 도출할 수 있기 때문이죠.

이번 기회를 빌어, 원리도 이해해 보고, 스스로 공식을 만들 수 있도록 해봅시다.

$ 7 \over 8 $ 와 $ 21 \over 32 $ 두 개의 분수가 있다고 가정합시다.

 

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분모를 기준으로 자연수 만들어보기

분모부터 생각해 보는 것이 쉬울 것입니다.

두 분수의 분모인 8과 32를 모두 없애려면, 두 수의 공통점이 있는 수가 되어야겠죠.

8을 곱하면, $ 7 \over 8 $ 는 자연수가 되지만, $ 21 \over 32 $는 자연수가 되지 못합니다.

32를 곱하면, 두 분수 모두 자연수가 되겠네요.

그런데, 원래 문제를 다시 한 번 들여다 봅시다.

$ {7 \over 8} \times 32 = {7 \times 4} = 28 $
$ {21 \over 32} \times 32 = 21 $

분명 두 분수가 자연수가 된 것은 맞지만, 곱할 수 있는 가장 작은 분수가 맞을까요?

 

가장 작은 분수가 되려면?

$ X = { A \over B } $ 라는 분수가 있다고 합시다.

이 분수의 A, B에 저마다의 숫자가 사용된다고 가정할 때, 이 분수가 가장 작은 분수가 된다는 것은 아래의 특성을 지닐 것입니다.

• 분자 A가 작을수록, 분수 X는 작아진다.
• 분모 B가 클수록, 분수 X는 커진다.

 

분자는 어떤 값이 될 수 있을까?

앞서 살펴본 과정에서, 32를 구했습니다.

그런데, 사실 32는 $ 32 \over 1 $ 이고, 분자가 32, 분모는 1인 분수라고 할 수 있습니다.

분모가 1이 아닌 값들 중에서, 위 조건(자연수로 만들어 줄 수 있는지)을 만족하는 동시에 최소 자연수를 만들어 줄 수 있는 분자는 어떤 값이 될 수 있는지 찾아 봅시다.

$ {7 \over 8} \times {32 \over X } $
$ {21 \over 32} \times {32 \over X} $

즉, 위와 같이 X에 적합한 값을 찾아보면 됩니다.

원래 분수의 분자 값들을 살펴보면, 7과 21이네요.

즉, 7과 21과 관련이 없는 숫자들로 나누게 되면, 자연수는 커녕 다시 분수가 되어 버릴 것입니다.

앞서서 우리는 자연스럽게 1로 나눈 값을 택했었죠.

이번에는 7로 나눠보고, 21로도 나눠봅시다.

7로 나누면, 그 자체로도 자연수가 되는 것을 보장하지만, 21로 나누면 값은 작아지지만 다른 한쪽이 자연수가 된다는 보장을 못하게 됩니다.

따라서, 7을 택하는 것이 맞겠네요.

 

 

일반화 해서 공식으로 만들어 보기

앞서 가장 작은 분수가 되려면 어떤 특징을 가져야 하는지도 살펴보았습니다.

• 분자 A가 작을수록, 분수 X는 작아진다.
• 분모 B가 클수록, 분수 X는 커진다.

앞에서 구한 분자, 분모의 답들도 다시 가져와 보겠습니다.

원래 분수의 분모에서 8과 32에서 공통된 특성을 가지면서, 32을 택하는 것은 최소공배수입니다.

원래 분수의 분자에서 7과 21의 공통된 특성을 가지면서, 7을 택하는 것은 최대공약수입니다.

위의 특징은 아래와 같이 다시 바꿔 쓸 수 있겠네요.

• 분자 A가 작을수록, 분수 X는 작아진다 = 분자는 원래 두 분수의 분모들의 최소공배수이다
• 분모 B가 클수록, 분수 X는 커진다 = 분모는 원래 두 분수의 분자들의 최대공약수이다

 

정리하면

$ 7 \over 8 $ 와 $ 21 \over 32 $ 에 곱했을 때, 두 분수를 모두 자연수로 만들어주는 가장 작은 분수 X는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

X의 분자는 두 분수의 분모들의 최소공배수이므로, 8과 32의 최소공배수는 32 입니다.

X의 분모는 두 분수의 분자들의 최대공약수이므로, 7과 21의 최대공약수는 7입니다.

따라서, $ 32 \over 7 $ 을 두 분수에 곱하면 됩니다.

$ {7 \over 8} \times {32 \over 7 } = 4 $
$ {21 \over 32} \times {32 \over 7} = 3 $

 

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