근의 공식 유도

근(根) = 뿌리 = root = 기원을 뜻합니다. 즉, 뿌리 및 기원과 관련이 있는 공식이라는 것이겠죠. 1차 방정식은 $ ax + b = c $ 의 형태로부터, x만 남겨놓고 나머지는 반대항으로 옮기는 절차만 따르면 됩니다. 2차 방정식에서는 완전제곱식 형태로 푸는 방식을 많이 사용합니다.

 

간단한 예제로 생각해 보기

간단한 예제부터 시작해 봅시다.

$ x^2 = 4 $ 라면,
어떤 수를 제곱했을 때, 4가 되므로,

$ x^2 = (\pm2)^2 $
$ x = \sqrt{(\pm2)^2} $
$ x = \pm2 $

위와 같이, 수식이 간단한 경우라면 쉽게 상상할 수 있겠죠?
그러면, 위의 식을 응용해서 $ x $ 가 아니라, $ x-1 $인 경우로 변형해 보겠습니다. 똑같이 어떤 수의 제곱이 4가 되는 경우지만, $ x=3 $ 인 경우를 가정하는 수식입니다.

$ (x-1)^2 = 4 $ 라면,
$ (x-1)^2 = (\pm2)^2 $
$ (x-1) = \sqrt{(\pm2)^2} $
$ x - 1 = \pm2 $
$ x = 3, -1 $

즉, $ x = 3 $ 이거나, $ x = -1 $ 일 때, 위의 수식을 만족시킵니다.

그런데, 위 식은 사실 계산하기 편하게 미리 정리가 되어 있던 것이겠죠? 원래는 아래와 같은 모양이었을 수도 있을 것 같습니다. 식을 풀어헤쳐 봅시다.

$ (x-1)^2 = 4 $ -- (a)
$ x^2 - 2x + 1 = 4 $ -- (b)
$ x^2 - 2x - 3 = 0 $ -- (c)

바꿔 말하자면, a의 표현과 c의 표현은 동일합니다. c의 식의 형태로 근을 구하라고 문제가 주어졌다면, 이를 a의 형태로 바꿀 수 있다면 완전 제곱식의 형태로 전환이 가능하기 떄문에 위에서 소개한 바와 같이 근을 구할 수 있을 것입니다.

 

일반화 - 근의 공식 유도하기

그러면, 이제 일반화를 하여 근의 공식을 유도해 봅시다. 위에서 한 것처럼 완전제곱식의 형태로 변형해서 유도해 보고자 합니다. 일반화된 2차 방정식의 모습은 $ ax^2 + bx + c = 0 $의 모습을 갖추고 있을 것입니다. 온전한 $ x $ 값을 구하기 위해, 나머지는 오른쪽 항으로 옮기는 방식을 따라 가면 됩니다.

$ ax^2 + bx + c = 0 $
양변을 a로 나눠줍니다. 2차 방정식이라 가정했으므로 a는 0이 아닙니다.

$ \frac {(ax^2 + bx + c)} {a} = \frac {0}{a} $

$ \frac {a}{a} x^2 + \frac {b}{a} x + \frac {c}{a} = 0 $

$ x^2 + \frac {b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} = 0$

$ (x + \frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a} $

$ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c \times 4a}{a \times 4a} $

$ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$ (x + \frac{b}{2a}) = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} $

$ x = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} - \frac{b}{2a} $

$ x = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}} - \frac{b}{2a} $

$ x = - \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

위와 같이 근의 공식을 유도하였습니다.