피타고라스 정리 - 피타고라스식 증명

피타고라스의 정리라고 하면, $ a^2 + b^2 = c^2 $ 라고 막연히 외우기만 했었는데, 어느 덧 왜(?)를 설명해줘야 할 때가 다가옵니다. 예전에는 이렇게 배우지는 않았던 것 같습니다. 피타고라스의 정리는 증명하는 방법이 여러가지가 있는데, 그 중 피타고라스식 증명부터 정리하고자 합니다. 넓이를 이용해 구하는 방식 중 하나인데요. 전체 넓이 = 부분 넓이의 합이라는데 착안한 방식으로 보면 되겠습니다.

두 개의 정사각형을 사용해 그림을 그려봅시다. 하나(정사각형 ABCD)는 바깥에 있고, 다른 하나(정사각형 EFGH)는 조금 작게 그립니다. 실제 종이를 사용해서 해보면 더 이해가 쉬울 수도 있겠네요. 안쪽 정사각형을 위의 그림과 같이 약간 회전시켜봅니다. 그러면, 각 모서리를 중심으로 직각 삼각형 네 개를 얻을 수 있습니다.

  • S1 = 전체넓이 = 큰 바깥 사각형(ABCD)의 넓이 = $ (a+b) \times (a+b) = (a+b)^2 $
  • S2 = 부분 넓이의 합 = 삼각형 AFE + 삼각형 FBG + 삼각형 GCH + 삼각형 HDE + 정사각형 EFGH = $ 4 \times \frac 1 2 \times a \times b + c^2 $

S1 = S2이므로, S1과 S2를 각각 풀어서 기록하고 항을 정리해 봅시다.
$ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 $
$ a^2 + b^2 = c^2 $

따라서, 피타고라스의 정리와 같은 식이 도출되었습니다.

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