최대공약수와 최소공배수 활용

앞서 최대공약수 구하는 법과 최소공배수 구하는 법에 대해 다뤄봤습니다. 이름도 비슷한 두 개의 개념을 모아서 비교해 보면, 좀 더 오래 기억하거나 이해하는데 도움이 되지 않을까요?


예제로 살펴보면

12와 30 두 숫자로 살펴보겠습니다.
$ 12 = 2^2 \times 3 $
$ 3= 2 \times 3 \times 5 $

이므로, 최대공약수는 $ 2 \times 3 = 6 $, 최소공배수는 $ 2^2 \times 3 \times 5 = 60 $ 입니다.


그림으로 보면


원본 숫자 12, 30을 중심으로 살펴보면 각 수의 왼쪽에 나열한 숫자들은 약수들입니다. 그 중, 왼쪽 방향으로 나열하는 숫자들 중 공약수, 그 중 첫번째에 나오는 공약수가 최대공약수입니다. 그 값을 파란색으로 칠했습니다. 반면 12, 30을 중심으로 오른쪽으로 나열한 숫자들은 원본 숫자들의 배수입니다. 특히 배수들 중 공배수, 그 중 첫번째에 나오는 공배수가 최소공배수입니다. 그 값을 녹색으로 칠했습니다. 이를 추상화시켜보면 다음과 같습니다.


숫자가 10, 20과 같이 약수든 배수든 딱 떨어지는 경우도 있으므로, 다음과 같을 수도 있겠네요.

위의 그림으로부터, 최대공약수는 두 수 중 작은 수를 기준으로 같거나 작은 어떤 수가 될 것이고, 최소공배수는 두 수 중 큰 수를 기준으로 같거나 큰 어떤 수가 될 것이라고 예상할 수 있겠습니다.


최대공약수의 특징

  • 나누는 개념
  • 나누는 값 중 가장 큰 것
  • 원래 숫자보다 작음
  • 수렴하는 개념

최소공배수의 특징

  • 곱하는 개념
  • 곱하는 값 중 가장 작은 것
  • 원래 숫자보다 큼
  • 확산하는 개념

최대공약수의 활용, 최소공배수의 활용

따라서, 최대공약수와 최소공배수는 실생활에서 이런 질문들의 형태를 지닐 것입니다.

  • 최대공약수
    • 표현: 최대(가장 많은, 최대의, 가능한한 크게) + 공약수(똑같이 나누는, 가능한 꽉 채우는)
      • 타일 채우기, 과일 공평하게 나누기 등
    • 단, 원래의 숫자들보다 작은 것을 구함
  • 최소공배수
    • 표현: 최소(가능한 적은, 최소의) + 공배수(다시 만나는, 반복되는, 같이 출발하는)
      • 겹치는 시간(버스 시간표, 날짜, 서로 다른 크기의 톱니바퀴 등), 미래의 어떤 일
    • 단, 원래의 숫자들보다 큰 것을 구함

수학용어로 보면 낯선데, 의외로 우리 생활에 녹아 들어있는 개념이었군요! 혹시 앞으로도 두 개 이상의 숫자로부터 어떤 공통 규칙을 발견하거나 부여해야 하는 경우에는 최대공약수인지, 최소공배수인지 다시 한 번 생각해 보면 좋을 것 같습니다.

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