서로소, 소수 (prime number) - 다시 생각해 봅시다


예전에는 아무 거리낌 없이 받아들이고 그러려니 했던 말 중에 서로소라고 있습니다. 이것을 설명하려니 왜 탁 막힐까요? 아마, 당시에 나의 언어로 소화하는 과정을 잘 거치지 않았던 모양입니다. 그리고, 우리는 예전에 그냥 외웠죠. '2, 3, 5, 7, 11 같은 것을 소수라고 해'라고 외웠는데. 왜 이들을 소수라고 부르고, 어떤 뜻을 가질까요?


소수의 뜻

우리나라에서는 소수를 한자로 씁니다. 素數라고 하네요.

  • 素: 흴 소, 본디 소
    라는 뜻으로 보아, 소수에서의 의미는 '본디'에 해당되겠습니다. 영어로는 소수를 prime number라고 부른다고 합니다.
  • prime: 최고의, 최초의, 최상의
    대략적인 의미는 1등의, 제일 앞에 서는, 기본이 되는 등의 뜻이겠죠. 결국, 소수에서의 '소' = prime을 뜻하는 것입니다. 한편, 소수를 '씨수'라고도 부른다고 합니다. 씨는 어떤 것의 시작, 근본이 되는 것을 뜻하는 것이니 이 또한 비슷한 의미가 되겠군요.

수에서 어떤 것의 기본/근간이 된다는 뜻은 무엇일까요?


소수와 합성수

기본이 되는 수를 소수(prime number)라 합니다.

  • 소수는 1과 자신의 곱으로만 표현할 수 있는 수
  • 1과 자기 자신으로 밖에 나누어 떨어지지 않는 1 이외의 정수
  • 약수의 개수가 2개 뿐인 수 (1과 자기 자신)

등으로 표현 가능합니다. 소수가 아닌 수들은 무엇일까요? 우선, 1은 어디에나 다 속하기 때문에 예외로 둡니다. 자연수에서 1과, 소수들을 빼고 나면, 어떤 수의 집합이 남겠죠? 그 수들을 합성수라 합니다. 함성수(composite number)는 말 그대로, 무언가를 합성(composite)했다는 뜻입니다. 합성이라고 하면, 그 의미가 단지 무언가를 합쳤다는 의미만 느껴질 수 있는데, composite이라는 단어를 들여다 봅시다.

* composite (from Merriam-Webster Dictionary)
1. made up of distinct parts or elements
2. combining the typical or essential characteristics of individuals making up a group

이라는 정의를 볼 수 있습니다. 즉, 서로 다른(배타적인) 요소들을 더해서 만들었다 혹은 아주 기본적인 특징/특성들을 바탕으로 뭔가 만들어 냈다는 것을 암시합니다. 그러면, 여기에서 말하는 기본적인 무언가는 그런 숫자를 의미한다고 유추할 수 있겠군요. 즉, 합성수는 소수들을 조합하여 만들 수 있는 수입니다.

2, 3, 5, 7, 11 등은 1을 제외하고는 자기 자신 밖에 없죠. (1과 자기 자신의 곱으로만 표현할 수 있습니다.)
그런데, 4, 6, 8, 10 등은 이와 같은 소수들의 곱으로 만들어 낼 수 있습니다. 그리고, 이렇게 어떤 소수의 곱들로 구성되어 있는지 밝혀내는 과정을 소인수 분해(prime factorization)라고 합니다. 소인수 분해라는 말만 놓고 보면, 생뚱맞겠지만 영어 단어까지 함께 놓고 보니 어떤 연관성이 살짝 보이네요. prime factorize라고 하네요. 소인수 분해는 정말 prime(소수)들의 곱으로 변환하는 과정이었군요!


서로소

소수에서 '소'가 어떤 것의 근간, 기본, 다른 것들과 섞이지 않은, 배타적인 등의 뜻을 지니는 단어라는 것을 짚어 봤습니다. 그러면, 이제 서로소의 의미에 대해서도 생각해 볼 수 있게 되었네요. 서로소는 사실 '서로'+'소(素)'입니다. relatively prime이라고도 하는데, 사실 잘 와닿지 않네요. 그래서, 이렇게 생각해 봅니다. 위에서 composite의 뜻을 들여다 봤는데, prime의 내포 의미에 distinct의 뜻도 있다는 것을 유추할 수 있었죠. 다른 무엇과도 겹치지 않는, 고유의, 유일한, 배타적인의 뜻을 연상해 봅시다.

  • 서로 소 = relatively prime = 상대방에 대해 distinct한 = 상대방과 겹치지 않는

이라는 전개가 가능하겠습니다. 상대방과 무엇이 겹치지 않을까요? 숫자를 구성하는 요소들(소인수)이 겹치지 않는 것을 뜻합니다. 즉, 1은 예외라고 했으므로, 약수가 1 밖에 없는 수들의 관계를 말합니다. 참고로, 집합에서도 서로 소라 하면 교집합이 없는 두 개의 집합(disjoint set)을 뜻한 답니다.

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